【案例分析題】2011年9月19日，甲公司（買方）與乙公司（賣方）簽訂了一份毛呢買賣合同。合同約定，買方向賣方購買毛呢外套1000件。后甲公司以質量不符合標準為由，拒付貨款。雙方發(fā)生爭議，后經協(xié)商達成書面仲裁協(xié)議。事后，賣方向約定的仲裁委員會申請仲裁，而買方向人民法院提出訴訟，被法院判決不予受理。后該仲裁委員會受理了該案。在仲裁委員會受理之后，買方辯稱，賣方向仲裁委員會提交的仲裁協(xié)議，未經買方同意，請求仲裁委員會決定該仲裁協(xié)議無效。

甲公司向法院起訴是否正確？法院的做法是否正確？為什么？
若僅就仲裁協(xié)議效力問題，雙方各自向仲裁委員會和法院申請確認仲裁協(xié)議效力，請問由何機構進行管轄？
若仲裁委員會確定仲裁協(xié)議有效，買方不服，欲請求人民法院重新對該協(xié)議效力進行確認，可否？